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　　为什么扩容时使用 e.hash & oldCap 来计算扩容后的数组索引？

　　本文通过推导 HashMap 中的取模和扩容公式以回答上述问题。1. 按位与(&)运算的理解

　　两个二进制的数按位与，如 A & B，当 B 中某一位为 1，则保留 A 上对应位上的数。

　　理解了按位与的这一层含义之后，再来看 HashMap 中的取模和扩容算法。

　　而被移掉的部分(低 n 位)，则是 e.hash % 2n，也就是余数。

　　已知 2n的二进制形式为 1 后面跟着 n 个 0，则 2n- 1 的二进制形式为 n 个 1。

　　其实 -7 mod 4 得到 -3 或 1 都是正确的结果。取决于计算机采用的运算规则。

　　考虑这样一个计算题：18 除以 5，要得到一个整数结果，究竟应该是 3 还是 4？这就是一个问题了。计算机上有几种对于结果取整的方法：

　　取模运算实际上是计算两数相除以后的余数。假设 q 是 a、b 相除产生的商(quotient)，r 是相应的余数(remainder)，那么在几乎所有的计算系统中，都满足：

　　因此 r 有两个选择，一个为正，一个为负；相应的，q 也有两个选择。如果a、b 都是正数的话，那么一般的编程语言中，r 为正数；如果 a、b 都是负数的话，一般 r 为负数。但是如果 a、b 一正一负的话，不同的语言则会根据除法的不同结果而使得 r 的结果也不同，但是一般 r 的计算方法都会满足：

　　当 e.hash & oldCap == 0，则节点在新数组中的索引值与旧索引值相同。

　　当 e.hash & oldCap != 0，则节点在新数组中的索引值为旧索引值+旧数组容量。

　　设：扩容前，节点 e 在旧数组索引值为 x；扩容后，节点 e 在新数组的索引值为 y.

　　此时低 n + 1 位的值与低 n 位的值是相等的，即 y = x，命题得证。

　　对于一个二进制数，其第 n + 1 位为 1，其余 n 位为 0，该二进制数的值为 2 的 n 次幂，也就是 oldCap。

　　推导可知，当 HashMap 容量 capacity 大小是 2 的 n 次幂时，取模公式和扩容公式都可以用按位与运算来替换取模运算，极大地提升了运算效率。

　　但是，按位与运算实际是取 hash 值的低位，舍弃了高位会使得 hash 运算结果不均匀。HashMap 通过引入扰动运算，让高位充分参与 hash 运算来避免这个问题。